'타원편광' 단원에서 타원편광이 가장 일반적인 편광의 형태라는 것을 보았다. 이때 x,y 방향으로 선편광된 빛이 임의의 진폭, 임의의 위상차를 가지고 만나서 만드는 편광상태가 공간의 한 단면에서 타원의 궤적을 그리게 되고, 이 타원의 형태는 진폭과 위상에 의해 정해지게 된다. 여기서는 전기장을 다음과 같이 복소수로 나타도록 한다. 따라서 z 방향으로 진행하는 빛의 두 성분은 Ex(z,t)=E0xei(kz−ωt+ϕx),Ey(z,t)=E0yei(kz−ωt+ϕy) 이다. x와 y의 두 성분은 실제의 진폭 E0x과 E0y와 함께 위상 ϕx와 ϕy도 차이가 있을 수 있다. 따라서 이들을 통합적으로 다루기 위해 공통인 부분을 제외하고 다음과 같이 복소진폭을 정의하자. E0=ˆxE0xeiϕx+ˆyE0yeiϕy 알짜의 편광상태는 복소진폭의 비율로만 결정되기 때문에 다음과 같이 복소진폭의 y 성분을 x 성분으로 나눈 다음 값이 특정한 편광상태를 유일하게 결정한다. ζ=E0yeiϕyE0xeiϕx=E0yE0xei(ϕy−ϕx)=tanψeiϕ 이렇게 복소수 ζ로 한 편광상태를 표현하는 것을 복소표현(complex number representation)이라 한다.
다음 그림은 복소평면 위에서의 편광상태를 보여주고 있다. 원점에는 Ey가 0 이므로 x선편광이 자리한다. 그리고 x-축 위에서는 x,y 두 성분의 위상차가 없으므로 ψ만큼 기울어진 선편광이 된다. 단 y선편광은 x=∞에 있으므로 유한한 영역에서는 나타낼 수 없는 것이 약점이다.
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편광의 복소표현_편광상태를 복소수 평면에서 표시하였을 때의 다양한 편광상태를 보여준다. x,y로 표시한 축은 편광의 복소표현 ζ의 실축과 허축이기도 하지만 전기장이 진동하는 방향을 나타내기도 한다. 따라서 원점에서의 편광은 x선편광이다.
여기서는 빛의 파동을 나타낼 때 Ex(z,t)=E0xei(kz−ωt+ϕx) 형식으로 표기하였다. 많은 정규 광학 도서들이 이 표기를 따르지만 광공학(photonics) 관련 도서들은 그렇지 않는 경우가 많다. 이는 Ex(z,t)=E0xei(ωt−kz+ϕx) 와 같이 kz와 ωt를 바꾸어 쓴 것이다. 파동함수에서 물리적인 의미가 있는 것은 복소수로 표현한 파동함수의 실수 성분이거나 절대값이므로 위상을 감안하지 않으면 두 표현 모두 동일하다. 그러나 편광을 다룰 때는 두 위상 ϕx와 ϕy, 특히 이들의 차이 ϕ=ϕy−ϕx의 의미가 커진다. 따라서 두 표현은 이들 위상을 서로 반대 부호를 택한 것으로 볼 수 있다.
(1)의 표기를 따른다면 복소표현에서 ϕ를 −ϕ로 바꾼 것으로 볼 수 있어서 도형의 형태는 같지만 진동하는 방향이 반대가 될 것이다. 공간의 특정한 점, 즉 z를 고정시켜서 시간의 경과에 대한 행동으로 편광상태를 정하는 데 −ωt와 ωt의 차이 때문에 행동이 반대로 되는 것으로도 이해할 수 있다. 앞서의 '편광의 복소표현' 도형뿐만 아니라 앞으로의 편광에 관련된 여러 도형에서 시간에 따라 움직이는 편광상태는 그 움직이는 방향으로 반대로 하면 (1) 식으로의 표기법에 의한 것이 된다. 따라서 타원편광에서 '좌향, 왼'과 '우향, 오른'의 입장이 서로 바뀌게 된다. 그러나 표기법으로 편광에 대한 본질적인 것이 달라지는 것은 아니다.