프레넬 회절

직사각형구멍의 프레넬 회절

슬릿의 회절무늬가 가로세로로 교차하는 모양을 한다.

직사각형구멍의 경우 다음과 같이 $x$, $y$에 대해 독립적으로 계산하여 두 함수를 곱한 것으로 볼 수 있다. 따라서 슬릿에 대한 결과로 부터 회절무늬의 양상을 쉽게 계산할 수 있다. $$\Psi_P = \Psi_0 \left\{ \frac{\left[ C(u)+iS(u)\right]_{u_1}^{u_2}}{1+i} \right\} \times \left\{ \frac{\left[ C(v)+iS(v)\right]_{v_1}^{v_2}}{1+i} \right\}$$ 즉, $x$와 $y$ 방향으로 각각 $\Delta u = u_2-u_1$, $\Delta v = v_2-v_1$의 폭을 가진 슬릿에 대한 결과가 곱해진 것이어서 가로세로로 격자 무늬를 하게 된다.

아래 그림은 직사각형에 대한 회절무늬를 보여주고 있다. 여기서는 스크린에 비쳐지는 모양만을 나타내었다.

이 프로그램에서 '데이터복사' 버튼으로 2차원 격자점에서의 데이터를 클립보드로 복사할 수 있다. 이는 스크린 공간에서 차원없는 좌표 $u, v=-10 \sim 10$의 범위에서 0.1 간격으로 되어 있는 201 x 201개의 데이터로서 엑셀과 같은 계산표 프로그램에 붙여 넣으면 여러 방법으로 분석해 볼 수 있을 것이다. 다음은 이렇게 만든 밝기 분포에 대한 표면 도형으로 세로로 두 개의 뚜렷한 피크를 가지고 있는 것을 볼 수 있다.

graph

직사각형구멍 회절의 밝기 분포_ 앞 프로그램에서 복사한 데이터로 생성한 밝기 분포의 표면 도형이다. 폭 $\Delta u=2.6$, 높이를 $\Delta v=3.2$로 하였고, 나타낸 범위는 가로세로 모두 $u, v=-10 \sim 10$의 범위에서 나타낸 것이다.

[질문1] 직사각형구멍의 크기를 다양하게 바꾸어서 회절무늬 그래프를 생성시켜 보자. 이 결과를 프라운호퍼 회절의 경우와 비교하라. 어떠한 조건에서 프라운호퍼 회절과 닮아 가는가? 이렇게 되는 이유를 생각해 보라. '직사각형구멍의 회절' 단원에서 다룬 프라운호퍼 회절의 결과와 비교할 수 있다.

[질문2] 500 nm의 평면파를 4 mm의 정사각형구멍에 비춘다. 이로부터 4 m 지점에 회절무늬를 형성시켰을 때 (a) 사각형의 중앙점에 대응되는 지점, (a) 사각형의 한 모서리에 대응되는 지점과 (b) 사각형의 한 변의 중심에 대응되는 지점의 빛의 밝기를 계산하라.

[질문3] 500 nm의 평면파를 2 x 1 mm² 인 직사각형구멍에 비춘다. 이로부터 5 m 떨어진 지점에 있는 스크린에 형성되는 2차원 회절결과를 스크린에서의 실제 길이를 반영해서 도표와 2차원 표면 그래프로 나타내어라. 이때 '직사각형구멍의 프레넬 회절무늬' 프로그램의 '데이터복사'로 복사한 데이터를 응용프로그램으로 적절히 가공하여 나타낼 수 있을 것이다.

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