파동의 입자

가우스 파동묶음

가우스 함수가 가장 효율적으로 파동을 모은다.

앞에서 여러 파형을 적절히 합성하여 임의의 형태의 파동을 만들 수 있는 것을 살펴보았다. 특히 특정한 파수를 중심으로 하여 종 모양으로 합성하면 공간적으로 좁은 영역에 밀집된 파동이 만들어지는 데 이를 파동묶음이라 하고, 이것이 고전적인 입자에 대응된다는 것을 알았다. 실제로 가장 효율적으로 파동묶음을 만들 수 있는 경우는 파수가 가우스 함수형을 하고 있는 것이다. 즉 각각의 파동의 진폭을 다음과 같이 가우스 함수로 하면 파동묶음의 형태도 가우스 함수형이 된다 \[ \phi (k) = e^{-\alpha (k-k_0)^2} \] 이 식에서 $\alpha$가 커지면 가우스 함수가 좁아지는 데 이는 다음과 같이 함수의 폭 $\Delta k$과 관련된다. \[ \Delta k = \frac{1}{2\sqrt{\alpha}} \] 가우스 함수는 중심에서 멀어질수록 0 으로 접근하지만 완전히 0 이 되지는 않는다. 따라서 일정한 수준 이상의 함숫값을 가지고 있는 영역을 폭 $\Delta k$로 삼았다. 파동함수의 절대치 제곱이 입자를 발견할 확률로 해석하게 되므로 어떤 입자가 파수 $k$로 있을 확률은 $|\phi(k)|^2$에 의존한다. 따라서 함수의 폭을 정할 때 제곱한 함수를 기준으로 하여야 한다.

다음 프로그램에서 중심 파수 $k_0$와 폭 $\Delta k$를 조절할 수 있도록 하여 합성된 파형을 관찰할 수 있다. 화면의 오른쪽 위의 두 슬라이더로 $\phi(k)$를 조절할 수 있고, 이렇게 합성된 파형은 화면 아래에 나타난다.

위 프로그램에서 중심 파수 $k_0$를 변경하면 파동묶음의 파형은 그대로 유지되면서 그 속에 들어있는 세부적인 파동의 파수가 거의 같은 값으로 변경된다는 것을 알 수 있다.

한편, 파수의 폭 $\Delta k$을 변경하면 파동묶음의 폭이 역으로 변하는 것을 알 수 있다. 파동묶음의 폭을 파형 그래프의 중심에 붉은 색으로 표시하였는 데 이것이 실제로 입자가 존재하는 폭 $\Delta x$로 삼는다. 이때 파수의 폭과 파동묶음의 폭 사이에는 $\Delta x \Delta k \sim \frac{1}{2}$가 성립한다. 여기서 증명은 하지 않지만, 가우스 함수의 경우가 이 곱이 제일 작은 가장 이상적인 경우이고, 다른 함수형으로 $\phi(k)$를 선택하면 일반적으로 다음 관계가 성립한다. \[ \Delta x \Delta k \ge \frac{1}{2} \] 이렇게 파수의 폭과 파동묶음의 폭은 동시에 국소화시킬 수 없는 한계가 존재하고, 이것이 물질파의 불확정성원리와 관련된다.

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