물질파의 운동

앞에서 유도한 파동방정식을 고전입자에 대응되는 파동묶음에 적용해 보자. 여러 파수를 갖는 평면파가 혼재된 파동묶음의 구성성분은 각자 다른 속도로 움직이게 되어 진행함에 따라 원래의 모습이 흐트러지게(분산하게)된다.

다음의 프로그램은 물질파의 파동이 움직이는 모습을 보여주고 있다. 화면의 윗부분은 복소파동함수의 크기와 위상을 그래프의 높이와 색채로 보여주고 있고, 아래는 복소수의 실수부와 허수부를 두 그래프로 보여주고 있다.

처음에 주어진 파동에 대해 'start' 버튼을 누르면 운동이 개시되어 시간에 따라 파동함수의 거동을 보여주게 된다. 아래의 조절창을 이용하여 다양한 파동함수의 운동을 살펴보자.

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자유공간에서의 물질파의 모의실험_ 화면의 위는 파동함수를 절대치와 위상, 실수부와 허수부로 보여주고 있다. 물질파는 아무런 힘을 미치지 않는 자유공간에 놓여 있으며, 초기의 파동함수의 형태를 아래의 조절창으로 변경할 수 있다.

가우스 형의 파동함수

1. 프로그램에서 초기에 주어지는 가우스 확률분포함수는 다음과 같다. \[ \Psi(x,0)=A\exp \left[ - \frac{(x-x_0)^2}{4\delta^2} \right] \exp [ik_0 (x-x_0)] \] 여기서 $x_0$는 위치의 평균값 $\langle x \rangle$으로 고전적으로는 입자가 존재하는 위치를 나타낸다. 또한 $\delta$는 파동함수의 대체적인 폭이 되어 위치 불확정도 $\Delta x$를 뜻한다.

2. 가우스 형을 선택하여 움직임을 관찰하면 파동이 진행함에 따라 파가 퍼지기는 하지만 다른 형태에 비하여 그 정도가 덜한 것을 알 수 있다. 실제로 가우스 형의 파동은 시간이 진행해도 그 퍼짐이 최소인 파동임을 증명할 수 있다.

3. 가우스 형의 푸리에 변환도 가우스 형의 함수이다. 즉 파수공간 $k$에서 역시 최적으로 국소화된 파동이다. 이때, 파수공간에서 퍼짐의 정도 $\Delta k$는 $\Delta x$와 사이에 다음의 관계가 성립한다. \[ \Delta x \Delta k \geq \frac{1}{2} \] 파동함수를 'Gaussian'으로 선택하고, 'wave ftn. width' 슬라이더로 함수의 폭을 변경시켜서 화면에 표시되는 $dx$와 $dk$를 살펴보면 이를 확인할 수 있다. 여기서 초기에 주어지는 가우스 함수는 $\Delta x \Delta k$이 $\frac{1}{2}$인 조건을 충족하는 최적의 파동이다. 운동시켜보면 절대치의 파형은 가우스 형을 유지하지만 파의 폭이 넓어져서 $\Delta x \Delta k$이 $\frac{1}{2}$에서 점점 벗어나는 것을 알 수 있다.

4. 물질파의 파장과 운동량 관계인 $p=\hbar k$를 이용하여 운동량 $p$ 공간에서 위 관계를 다시 쓰면, \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] 가 되어 불확정성원리(uncertainty principle)를 나타낸다. 이는 물질의 위치와 운동량은 그것이 규정되는 데 근본적인 한계를 가지고 있다는 것이다.

5. 물질파가 전체적으로 움직이는 속도는 일정하다. 이는 시간에 따른 $\langle x \rangle$ 값을 측정해보면 알 수 있다. 실제로 이 속도는 파수 $k$와 비례하여 고전적인 입자의 운동과 일치하는 것을 눈치 챌 수 있을 것이다.

기둥 형 파동함수

1. 아래 그림선택 창에서 'Square'를 선택하여 운동시켜보면 파동의 형태가 급격하게 흐트러지는 것을 볼 수 있다. 이는 이 파동이 아주 넓은 범위에 걸친 파수의 평면파를 포함하고 있어 각 성분에 따라 진행 속도가 큰 차이를 가지기 때문이다.

2. 시간에 따라 파동함수가 퍼지는 정도는 그 폭이 좁을수록 심하다.

3. 이 물질파의 위치 평균치의 진행이 등속도인지를 관찰해 보자.

주기적인 파형

1. 'Plane'를 선택하면 하나의 파수를 갖는 $e^{ikx}$의 평면파가 초기에 주어진다. 이때 입자를 발견할 확률, 즉 복소파동함수의 절대치 제곱은 모든 지점에서 일정하여 입자가 전 공간에 걸쳐 균등하게 퍼져 있음을 알 수 있다. 이 파는 운동을 하더라도 확률밀도는 변화가 없어 표면적으로는 파동인지 알 수가 없다. 비록 실수와 허수의 파동은 선택된 $k$값에 따라 이동하지만 관측 가능한 확률밀도는 균일하면서 정지해 있는 것이다!

2. 'Cosine'은 실수 성분만을 코사인 함수로 가지고 있는 것이다. 이는 서로 반대로 운동하는 $e^{ikx}$와 $e^{-ikx}$가 균등하게 섞여 있는 것이다. 합성된 결과의 확률밀도함수는 역시 시간이 흘러도 정지한 채로 있지만 마디를 가지고 있는 점이 앞서 'Plane'의 경우와 다르다. 그리고 시간에 따라 실수성분과 허수성분이 서로 교대로 마치 정상파처럼 운동하는 것을 관찰할 수 있다.

화면에 표시한 값들

1. 자유공간의 물질파의 파동방정식에는 플랑크 상수 $\hbar$와 물체의 질량 $m$이 들어있다. 이 프로그램에서는 $\hbar=1$, $2m=1$로 둔 단위계를 사용하였다.

2. 화면에 표시한 값들에서 길이의 단위를10^-10m (0.1 nm)로 하고, 에너지의 단위를 1eV로 고정하면 시간의 단위는 6.59 x 10^-16sec가 되어 원자의 규모에서 일어나는 일로 생각할 수 있다.

3. 물체의 질량을 kg 정도로 한다면 거리의 단위는 10^-25m가 되거나 에너지가 10^-30eV 정도 되어서 양자효과를 일상생활에서는 관찰하기 어렵다는 것을 알 수 있다.