가우스 법칙의 응용

가우스 법칙의 응용

선 전하 분포

선에서부터의 거리에 반비례하는 전기장이 형성된다!

균일하게 선형으로 대전된 도선의 경우 도선에서 거리 $r$ 떨어진 지점에서의 전기장도 가우스 법칙으로 구할 수 있다. 이때 축대칭이 성립하기 위해서는 도선의 중심을 통과하는 축에 대하여 전하의 분포가 대칭성이 있어야 한다. 또한 도선을 따라서 이동하는 데 대하여서도 상태의 변화가 없어야 하므로 도선은 무한히 길어야 한다. 이에 따라 다음 그림과 같은 가우스 적분면을 선택하여 가우스 법칙을 적용한다.

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선형전하분포의 가우스 법칙 적용_ 도선에서 반경 r의 원 기둥을 가우스 적분면으로 하여 가우스 법칙을 적용한다.

가우스 적분면은 반경이 $r$ 이고 길이가 $h$ 인 원기둥으로서 원기둥의 둥근 면에서는 어디에서나 전기장이 수직이고 또한 같은 크기를 하고 있다. 한편 원기둥의 두 가장자리에서는 면적 벡터에 수직으로 전기장이 지나가므로 가우스 적분에 기여하지 않는다. 도선은 매우 길어서 전체의 전하량보다는 단위길이당 전하량을 정의하는 것이 물리적인 의미가 더 있다. 이를 λ라 하자.

\begin{aligned} \oint_{c y l i n d e r} \vec{E} \cdot d \vec{A} & = & \oint_{c u r v e d s u r f a c e} \vec{E} \cdot d \vec{A} \\ = & \oint_{c u r v e d s u r f a c e} E d A \\ = & E \oint_{c u r v e d s u r f a c e} d A \\ = & [2 π r h] E \end{aligned}

$\eqalign{ \oint_{\mathrm{cylinder}} \vec{E} \cdot d \vec{A} &=& \oint_{\mathrm{curved~surface}} \vec{E} \cdot d \vec{A} \\ &=& \oint_{\mathrm{curved~surface}} EdA \\ &=& E \oint_{\mathrm{curved~surface}} dA \\ &=& [2 \pi rh] E }$ 따라서,

[2 π r h] E = \frac{1}{ε_{0}} λ h

$[2 \pi rh] E = \frac{1}{\varepsilon_0} \lambda h$ 이므로

E = \frac{1}{2 π ε_{0}} \frac{λ}{r}

$E = \frac{1}{2\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda}{r}$ 이다.

한편 도선속에서 형성되는 전기장도 구형대칭의 경우에서와 비슷하게 구할 수 있다. 도선에서 전하가 균일하게 분포하고 있다면 내부에서의 전기장은 중심에서의 거리 r에 비례하여 점점 커지게 된다.

_ 가우스 법칙_ 전기장_ 전하_ 대전